ピタゴラスの定理の証明

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1 名前： チョン 投稿日： 01/11/17 09:52: ピタゴラスの定理の証明を幾つか教えてください
個性的な証明方法とかあったらおしえてチョン
2 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/11/17 10:20: チョンの方ですか？
3 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/11/17 12:03: これよりうまい証明は無いでしょう。その意味で世界新ですねぇ。

http://www.imai.gr.jp/users/imai/japanese/vector/pitago/no005.html
4 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/11/17 12:18: >>3
http://www.wcsnet.or.jp/~miyaguti/ntsanani.htm
が無駄に気に入った。
5 名前： > 投稿日： 01/11/17 16:58: 何でもありなら
(sin x )^2 + (cos x)^2 =1 が
ピタゴラスの定理とは関係なく証明されてるものとして
これを使う。
6 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/11/17 16:59: >>3
笑止。氏ね。
7 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/11/17 18:49: 相似な三角形の原理を使えばそんなにむずくない。
8 名前： 今井弘一 投稿日： 01/11/17 18:53: ウンポチンチン
9 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/11/17 19:00: >>7
直角三角形の90度をなすところの頂点から垂線を引いて相似を使うって
やつのこと？
あれは簡明にみえるだけでいまいち。
極論すると>>5と大同小異（ｗ
10 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/11/18 17:39: ほかにないでっか？
11 名前： ピュタゴラス 投稿日： 01/11/19 00:49: 「ピタゴラス」と表記してる時点でもうダメ。
12 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/11/19 00:58: >>9
　おれ、相似を使うの好きだけどなー。いろいろ利用価値あるし。

　一番一般的なのは、直角三角形の各辺を一辺とする正三角形を
３つ描いて、小さい正方形の面積＋中くらいの正方形の面積＝
大きい正方形の面積　を証明するのが多いかな？これは補助線を
いかに引くかが課題で、色々な証明方法があるんだけどね。
13 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/11/19 01:10: >>5
それを使ってどうやって証明するの。
14 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/11/19 07:11: ピュタゴラスって表記するとどうなの？
ピタゴラスではなにがだめなの？
何が違うの？
15 名前： >13 投稿日： 01/11/19 09:32: どうやっても何も
(sin x) ^2 + (cos x) ^2=1
自体ピタゴラスの定理だよ。
半径１の円周上の点と中心を頂点とする直角３角形を考えればわかる

５では　他の方法で
(sin x) ^2 + (cos x) ^2=1 が証明済みとすれば

斜辺の長さ r
一方の辺 a r* cos(x)
もう一方の辺 b r* cos(x)
x は r と aの角度からでる。。
16 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/11/19 18:45: >15
ピタゴラスなしで
(sin x) ^2 + (cos x) ^2=1
はどう証明しようか
17 名前： > 投稿日： 01/11/19 19:26: なんでもありなら　オイラーの公式を使って
exp(ix) * exp(-ix) = 1 であることから。。。
18 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/11/19 20:35: >>11
>>14に答えよ
19 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/11/19 20:44: cos x = Re(e^ix)
sin x = Im(e^ix)
をcos,sinの定義にすれば自明ですな。
20 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/11/19 23:50: >>15
なぜ（ｃｏｓ（ｘ），ｓｉｎ（ｘ））が
（０，０）中心半径１の円周上にあることが分かるのですか。
ｃｏｓ，ｓｉｎを（ｃｏｓ（ｘ），ｓｉｎ（ｘ））が
（０，０）中心半径１の円周上にあるように定義するのですか。
21 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/11/20 08:39: >>20
>>19の定義から導かれる。
22 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/11/20 18:55: >>21
複素数を指数部にもつ指数関数の定義はπなしで大丈夫か？
23 名前： not21 投稿日： 01/11/20 19:10: だいじょうび
なんでそんなこときにすんの？
24 名前： 132人目の素数さん 投稿日： 01/11/20 19:23: 大丈夫。バカ？
25 名前： >21 投稿日： 01/11/20 20:31: exp(z) = ∑　z^n / n!
が定義だとしておけば、
パイもパイレーツもオセロも気にしなくてよかろう。
26 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/11/20 20:52: >>25
うっわーほんまや…。うっわー
27 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/11/20 22:22: １やけど
あんたら難しすぎてわからん
ピタゴラス御大はどうやって証明したねん
28 名前： ここにいろいろ 投稿日： 01/11/20 22:43: http://www.cut-the-knot.com/pythagoras/index.html
29 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/11/20 23:17: >>28すごい
30 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/11/20 23:30: >>21
ｘ＋ｙｉの絶対値を√（ｘ＾２＋ｙ＾２）とするのは
三平方の定理があるからなんじゃないですか。
だから三平方の定理を使って三平方の定理を
証明しているだけなんじゃないですか。
31 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/11/20 23:37: >>30
定義だよ馬鹿
32 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/11/20 23:47: >>17,>>19,>>25に
exp(z+w) = exp(z)exp(w)
を認めれば完璧だな。
33 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/11/21 00:03: 証明　∠Ａ＝９０度とすると、

|ＢＣ|^2
＝|ＢＡ＋ＡＣ|^2
＝|ＢＡ|＋２ＢＡ・ＡＣ＋|ＡＣ|^2
＝|ＢＡ|＋|ＡＣ|^2　　∵　ＢＡとＡＣは平行だから、ＢＡ・ＡＣ＝０
∴ |ＢＣ|^2＝|ＢＡ|^2＋|ＡＣ|^2

皆さん、この証明を正しいと思いますか？　これを正しいと頑張ることが出来るとしたら？　歴史上これ程明快な証明はないでしょう。
34 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/11/21 00:10: >>32
（ｃｏｓ（ｘ））＾２＋（ｓｉｎ（ｘ））＾２＝１は証明できても
ｘ＾２＋ｙ＾２＝１が円を表すことが証明できてないので全然完璧じゃない。
35 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/11/21 00:18: >>33
>∵　ＢＡとＡＣは平行だから、ＢＡ・ＡＣ＝０
だめだこりゃ
36 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/11/21 00:27: >>34
子供は寝る時間だよ
37 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/11/21 00:45: >>36
なら早く寝なさい
38 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/11/21 01:08: >∵　ＢＡとＡＣは平行だから、ＢＡ・ＡＣ＝０

３３の「平行」は「直交」の間違いです。
39 名前： ＞34 投稿日： 01/11/21 02:17: >ｘ＾２＋ｙ＾２＝１が円を表すことが証明できてないので全然完璧じゃない

このスレの論点はピタゴラスの定理の証明であって
円の式がなぜ x^2+y^2=定数　か？
ではありません。

ピタゴラスと関係ないところで
(sin x) ^2 + (cos x) ^2＝１　　*1
が証明できてるならそれを使うの一つの解だという
ところから派生してたはず。

ピタゴラスが証明できたあとなら

”x^2+y^2 は　(x,y)の原点からの距離の2乗を表している”

ことから
”x^2+y^2 = 一定　を満たす (x,y) は原点から等距離”

。。。
それだけの話
40 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/11/21 02:42: >>39
ｃｏｓなどを冪級数などで定義するなら
Ｃが直角の直角三角形ＡＢＣでｃｏｓ∠ＢＡＣとＡＣ／ＡＢが
一致することの証明が必要です。
41 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/11/21 02:54: ｃｏｓ∠ＢＡＣをＡＣ／ＡＢで定義するなら
ｃｏｓ＾２（ｘ）＋ｓｉｎ＾２（ｘ）＝１の証明が
三平方の定理の証明でもあるので関係なく証明されてはいない。
42 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/11/21 08:40: （１）ｃｏｓ，ｓｉｎをどう定義するのか。
（２）ｃｏｓ＾２（ｘ）＋ｓｉｎ＾２（ｘ）＝１をどう証明するのか。
（３）ｃｏｓ＾２（ｘ）＋ｓｉｎ＾２（ｘ）＝１を使って
　　　どう三平方の定理を証明するのか。

（Ａ）直角三角形を使ってｃｏｓ，ｓｉｎを定義するなら
　　　ｃｏｓ＾２（ｘ）＋ｓｉｎ＾２（ｘ）＝１の証明は
　　　そのまま三平方の定理の証明なので
　　　三平方の定理と関係なく証明できない。
（Ｂ）ｘ＾２＋ｙ＾２＝１上で（１，０）から（０，１）へ
　　　向かって測った長さがｘである点の座標を
　　　（ｃｏｓ（ｘ），ｓｉｎ（ｘ））とするなら
　　　最初から三平方の定理を使っている。
（Ｃ）冪級数などを使ってｃｏｓ，ｓｉｎを定義するなら
　　　ｃｏｓ，ｓｉｎは直角三角形と関係がないので
　　　Ｃが直角の直角三角形ＡＢＣでＡＢ＝１，ｘ＝ＢＡＣのとき
　　　ＡＣ＝ｃｏｓ（ｘ），ＢＣ＝ｓｉｎ（ｘ）であることを
　　　三平方の定理と無関係に証明する必要がある。
（Ｄ）その他の方法で定義するなら分かりません。

>>39
質問は >>5 で書いてあるのは
ｃｏｓ，ｓｉｎを三平方の定理と無関係にどのように定義して
ｃｏｓ＾２（ｘ）＋ｓｉｎ＾２（ｘ）＝１を三平方の定理と無関係にどう証明し
ｃｏｓ＾２（ｘ）＋ｓｉｎ＾２（ｘ）＝１を使って
どう三平方の定理を証明するのかということです。
43 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/11/21 10:23: >>42
まず「直角三角形」をちゃんと定義しろよ
44 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/11/22 00:10: >>43
定義したいなら自分でやって。
45 名前：＞投稿日： 01/11/22 00:26: 単位円周上の点の座標を角度tの関数として (f(t),g(t))とする

円周の長さとの比較その他で
g(t)/t -> 1 (t->+0 )　や (1-f(t))/t -> 0 を　示しておく

図形を書いて
f(x+y) = f(x)f(y) - g(x)g(y)
g(x+y) = f(x)g(y) + f(y)g(x)
を示す。

f,gの微分可能性をみとめちゃえば。
これらの関係から f(x) の導関数 -g(x)
g(x) の導関数 f(x)

で
f(x)の２階微分 -f(x)
g(x)の２階微分 g(x)

これを f(0)=1 g(0)=0 f(π/2)=0 g(π/2)=1 という境界条件を
使って求めるで
fとgがexp(it)で定義したcos,sin である

という筋でなんとかならんか？
と思ったがf,gが微分可能ということが簡単に明かではないな。。
46 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/11/22 08:10: 幾何的三角関数が解析的三角関数にいっちすることをいえばいいんでしょ。
絵を書けば、幾何的三角関数の加法定理や、sin(x)/x→1、cos(x)/x→0がしめせるから、
幾何的三角関数は微分可能がわかって、微分係数は解析的三角関数にいっちする。
47 名前： おーなー 投稿日： 01/11/24 22:19: このスレのオーナーである１ですけども
これだけ有名な定理なわけですが自然現象（社会現象もふくむ）で
この定理の通りになっている現象を教えてください。
わけわからん数学の証明は私のような畑違いの者には難しかったよ…
48 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/11/25 09:01: ないの？
だれかおしえて
49 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/11/25 09:53: はぁ？オマエ馬鹿？
50 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/11/25 10:28: >スレのオーナー

スレにオーナーなど存在しない。まずそこから学習しろ。
51 名前： >48 投稿日： 01/11/25 12:09: ３ｃｍと４ｃｍの辺の長さの長方形の対角線をはかってごらん
５ｃｍになってるよ。
ピタゴラスの定理通りだね。よかったね。
52 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/11/25 14:24: 一応マジレス。これが一番簡単。
直角三角形の直角から斜辺に垂線を下ろすと相似な三角形が三個。
分割された二つの相似比をa:bとすると面積比は（a×a）:（b×b）
全体の面積は…
続きは自分で考えてみてね。
53 名前： ＞５１ 投稿日： 01/11/25 14:48: だからなに？
ばか？
なにが「よかったね。」なの？
54 名前： チョン 投稿日： 01/11/26 19:22: おーいオーナーとかいってるやつ
俺の立てた質問コーナー荒らすなよ
みなさんまったりゆっくり逝きましょう。
55 名前： げんえきちゅうぼう 投稿日： 01/12/05 21:44: 厨房にもわかるピタゴラスの定理の証明をおしえてください
56 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/07 22:22: 厨房やったらわかるやろ？
57 名前：石風投稿日： 02/01/26 23:30: ピタゴラスの定理の証明は数多く知られているけど、アメリカ大統領が証明した
方法もあるよ。え～と、誰だったかな。
58 名前： KARL ◆gjHKPQSQ 投稿日： 02/01/27 04:01: >>14,　>>18
ピタゴラス(つづりはたぶん　ΠΥΤΑΓΟΡΑ∑)
は古代ギリシャ人ですから、その当時のギリシャ語の発音とされている
「ピュタゴラス」というのが正しい呼び名である、とでも言いたいんでしょ。
現代ギリシャ語だったら「ピタゴラス」で正解なんですけど（笑)。
古代ギリシャ語であれば「ピュタゴラース」とのばすのがほんとはもっと正しい
(んじゃないかな)。「ゴ」をやや高めの音程で読んでね。
どっちにしろ「クーダラナイ」の一言です。
59 名前： ナナシ 投稿日： 02/01/27 04:48: １辺の長さが(a+b)の正方形を描きます。
各辺をa:bに内分する点を取り
それを結んで正方形の内部に正方形を描きます。
内部の正方形の１辺の長さをcとします。
面積について
(a+b)^2=(ab/2)*4+c^2
より
a^2+b^2=c^2
なんてどう？
60 名前： 今井弘一 投稿日： 02/01/27 07:02: 完璧な証明がすでにあるのにこれ以上何を求めますか？？？
今井のベクトルを使用すればピタゴラスの定理が定理の名に値しないことがおわかり
頂けるでしょう。蛆虫にはわからんですか？？

http://www.imai.gr.jp/users/imai/japanese/vector/pitago/no005.html
61 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 02/01/27 08:41: ここでないと駄目

http://www.imai.gr.jp/japanese/vector/pitago/no005.html
62 名前： 今井弘一 投稿日： 02/01/27 15:08: up
63 名前：石風投稿日： 02/01/30 15:49: 57の自己レス
米２０代大統領・ガーフィールドの台形の面積を利用した
証明があるみたい。

数学者で政治家になった人は何人かいるね。
日本では菊池大麓（漢字あってるかな）は文部大臣までやった。
この人は都知事だった美濃部なんとかの祖父にあたる。
64 名前： 漏れが中三のときにやった証明法 投稿日： 02/01/30 20:57: (証明)
∠BAC＝90°の直角三角形ABCがあり、頂点Aより辺BCに垂線を下し、
垂線の足をHとする。
∠AHB＝90°より
辺ABは三角形AHBの外接円、円AHBの直径となる。
また、BA⊥ACより
ACは三角形AHBの外接円、円AHBに接する
∴CA＾2＝CH×CB(∵方べきの定理)・・・①
同様にして
BA＾2＝BH×BC(∵方べきの定理)・・・②
①②の左辺、右辺同士をそれぞれ足し合わせて
AC＾2＋AB＾2＝BC(BH＋CH)
AC＾2＋AB＾2＝BC＾2
(証明終)

当時は方べきの定理で三平方の定理が証明できるんだ！といって
喜び勇んだものだった．．．
65 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 02/03/23 23:25: ｹﾞﾗｹﾞ
66 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 02/03/30 00:10
67 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 02/04/30 06:21

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